本帖最后由 zing 于 2019-6-27 21:50 编辑
为什么F=ma+w×mv从圆周运动说起
如果你经常看论文，会发现建模的时候都用的下面的公式，其实建模我们已经很熟悉了，这不就是牛顿-欧拉方程嘛。
等等，牛顿方程怎么变形了？
多出来的
是什么？
关于牛顿方程，还得刚体定轴转动开始说起。
如果一个刚体绕固定的轴转动，就像图里显示的一样，我们随便选择一个点M分析，因为刚体上每个点的运动状态是一样的（转动半径不一样），转过的角度为$\varphi$(弧度)，半径为r ,角速度为 w, 角加速度为$a_{ang}$。
我们先给这些变量做一些定义,什么是角速度呢？
什么是角加速度呢？
（ 我们只是简写成 $A=\dot B$ 这种形式，不要忘了这些定义 ）
这个定义和我们直线运动里的速度加速度几乎一样，那我们是不是可以研究一下，角速度，角加速度和速度与加速的关系。
对于圆周运动，走过的路程是一段圆弧s:
(如果转过的角度是$2\pi$,那走过的弧就是周长C)
我们对速度的定义就是路程对时间求导，所以我们对弧长求导：
原来切向速度v_t可以这么求呀。
那切向加速度呢？
千万别忘了，还有向心加速度。
所以圆周运动与直线行动最不同的地方，直线运动，加速度只需要改变速度的大小。而圆周运动，需要切向加速度(at)改变速度的大小，和向心加速度(an)改变速度的方向。
说这怎么多，到底 $\Omega \times m V$ 是什么？
别急别急，你看这个公式里有个叉乘，显然是向量，我们还需要把之前标量分析扩展到向量才会有答案。
定义角速度矢量：
k是转轴z上的单位向量，即向量w的方向是垂直于旋转平面的法向量。
那显然角加速度肯定就跟角速在一个方向呀。
ok,现在我们来看看矢量形式下，速度，加速度，角速度，角角速之间的关系。
先看我们最熟悉的切向速度公式:
这里的 向量r 是矢径 ，即原点O1到质点M的向量，即M点的位置向量，这个向量与转轴z的夹角为$\gamma$。
为什么角速度叉乘矢径就是速度呢？
其中R为M点的转动半径，可以看出模值确实是vt,那方向呢？
向量w叉乘向量r,根据右手法则，可得他们的方向垂直于w与r组成的平面，所以方向垂直于旋转半径R，与vt速度方向一致。
所以我们可以继续得到加速度为：
根据之前的分析已知：
模值为：
同样，方向用右手定则，垂直于a_ang于r组成的平面，即方向为垂直于旋转半径R，即切线方向。
所以：
对位置矢量r求导，得到的是速度向量，即：
同理其模值为：
方向垂直于w与v组成的平面，即指向圆心。
所以：
再来看看最初的牛顿方程：
参考资料：《理论力学》-西北工业大学教研室
ps:感谢同事给的参考资料，我在看论文的时候突然发现这个问题，当时有个思路问题，我觉的这个公式应该是加上了零一个空气动力学里的力，所以把第二项单独分析，结果根本搜索不到答案，如果认定F=ma,把m提出来，剩下的式子作为a去分析，应该能更快找到答案。
ok，我是zing,一个有趣的飞控工程师今天就讲这么多，下期见。
个人公众号《无人机干货铺》
发表于 2019-6-27 21:50:20
6222 浏览 4 回复
